জাতীয় বিশ্ববিদ্যালয়ের অনার্স ৩য় বর্ষ পরীক্ষা ২০২৬-এ Mathematics বিভাগের দ্বিতীয় পত্র Real Analysis (বাস্তব বিশ্লেষণ, কোর্স কোড: 233703) পরীক্ষা ২৯ নভেম্বর ২০২৬, রবিবার, দুপুর ১:০০টা থেকে। এই কোর্সে পড়তে হয় বাস্তব সংখ্যা ব্যবস্থা (Real Number System), অনুক্রম ও শ্রেণি (Sequences and Series), সীমা ও অবিচ্ছিন্নতা (Limits and Continuity), অন্তরকলন (Differentiation), Riemann সমাকলন (Riemann Integration) ও অভিসৃতি (Uniform Convergence) — সাজেশনটাও এই অধ্যায়গুলো ধরেই ক/খ/গ বিভাগ অনুযায়ী সাজানো হলো।
এক নজরে পরীক্ষার তথ্য
| কোর্স | Real Analysis (বাস্তব বিশ্লেষণ) |
| কোর্স কোড | 233703 |
| পরীক্ষার তারিখ | ২৯ নভেম্বর ২০২৬, রবিবার |
| সময় | দুপুর ১:০০টা |
| পূর্ণমান | ৮০ (সময় ৪ ঘণ্টা) |
| পরীক্ষা কোড | 2203 |
ক-বিভাগ: অতিসংক্ষিপ্ত প্রশ্ন (Brief Questions)
ক-বিভাগে সংজ্ঞা ও ছোট প্রশ্ন আসে — নিচের প্রশ্নগুলো উদাহরণসহ আগে মুখস্থ করে নিন।
Real Number System
- What is a field? Give an example.
- What is an ordered field?
- State the completeness axiom of real numbers.
- Define the supremum and infimum of a set.
- What is an upper bound of a set? What is a least upper bound?
- State the Archimedean property of real numbers.
- What is a Dedekind cut?
- Define the absolute value of a real number.
- State the triangle inequality.
- What is a neighbourhood of a point?
- What is an open set? Give an example.
- What is a limit point of a set?
- What is a bounded set?
Sequences and Series
- Define a sequence of real numbers.
- What is a convergent sequence?
- Define a Cauchy sequence.
- What is a monotone sequence?
- What is a subsequence of a sequence?
- State the Bolzano-Weierstrass theorem.
- What is an infinite series?
- State the ratio test for the convergence of a series.
- State the root test for the convergence of a series.
- What is absolute convergence of a series?
- What is a power series?
Limits and Continuity
- Define the limit of a function at a point.
- Define continuity of a function at a point.
- What is uniform continuity?
- State the intermediate value theorem.
Differentiation
- Define the derivative of a function at a point.
- State Rolle's theorem.
- State the mean value theorem (Lagrange's).
Riemann Integration
- What is a partition of a closed interval [a, b]?
- Define the upper sum and lower sum of a function.
- What is a Riemann integrable function?
- State the fundamental theorem of calculus.
Uniform Convergence
- Define uniform convergence of a sequence of functions.
- What is a uniformly convergent series of functions?
খ-বিভাগ: সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন (Short Questions)
Real Number System
- Prove that √2 is irrational.
- Prove the Archimedean property of real numbers.
- Show that between any two real numbers there exists a rational number.
- Prove that the set of real numbers is uncountable.
- Prove that sup(A ∪ B) = max(sup A, sup B) for two bounded sets A and B.
Sequences and Series
- Prove that every convergent sequence is bounded.
- Prove that every monotone bounded sequence converges.
- Prove that every Cauchy sequence is bounded.
- Show that a sequence converges if and only if it is a Cauchy sequence.
- Test the convergence of the series Σ 1/nᵖ for p > 0.
- Prove the comparison test for the convergence of a series.
- Prove that absolute convergence of a series implies its convergence.
Limits and Continuity
- Prove that the sum of two continuous functions is continuous.
- Prove that a continuous function on a closed interval [a, b] is bounded.
- Prove the intermediate value theorem.
- Show that f(x) = x² is uniformly continuous on [0, 1] but not uniformly continuous on R.
Differentiation
- Prove Rolle's theorem.
- State and prove the mean value theorem.
- Prove that a function whose derivative is zero on an interval is constant on that interval.
- Prove Taylor's theorem with Lagrange's form of remainder.
Riemann Integration
- Prove that a continuous function on [a, b] is Riemann integrable.
- Prove that a monotone function on [a, b] is Riemann integrable.
- Show that if f is integrable on [a, b], then |f| is also integrable on [a, b].
- State and prove the fundamental theorem of calculus.
Uniform Convergence
- Prove that the uniform limit of a sequence of continuous functions is continuous.
- Prove the Weierstrass M-test for uniform convergence.
- Show that uniform convergence implies pointwise convergence, but the converse is not true.
গ-বিভাগ: রচনামূলক প্রশ্ন (Broad Questions)
Real Number System
- State and prove the completeness axiom of real numbers and deduce that every bounded monotone sequence converges.
- State and prove the Bolzano-Weierstrass theorem for sequences.
- Discuss Dedekind's construction of the real number system from the rational numbers.
Sequences and Series
- State and prove the Cauchy criterion for the convergence of an infinite series.
- State and prove the ratio test and the root test for the convergence of a series.
- Discuss the convergence of a power series and find its radius of convergence.
Limits and Continuity
- State and prove the intermediate value theorem and discuss its applications.
- Prove that a continuous function on a compact set attains its maximum and minimum values.
Differentiation
- State and prove Taylor's theorem with Lagrange's form of remainder.
- State and prove Cauchy's mean value theorem.
- Discuss L'Hôpital's rule with examples.
Riemann Integration
- State and prove the fundamental theorem of calculus.
- State and prove the criterion for Riemann integrability of a bounded function.
- Discuss improper integrals with examples.
Uniform Convergence
- Prove that uniform convergence preserves continuity and Riemann integrability.
- State and prove the Weierstrass M-test and discuss its applications.
প্রস্তুতির টিপস
- প্রথমে ক-বিভাগের সংজ্ঞাগুলো উদাহরণসহ শেষ করুন — supremum/infimum, Cauchy sequence, uniform convergence-এর সংজ্ঞা থেকে এখানে নিশ্চিত নম্বর আসে।
- Mean Value Theorem, Rolle's Theorem ও Taylor's Theorem — গ-বিভাগের জন্য এই তিনটি উপপাদ্য সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।
- উপপাদ্যের প্রমাণ লেখার সময় প্রথমে বিবৃতিটি (statement) পরিষ্কার করে লিখুন, তারপর ধাপে ধাপে প্রমাণ সাজান।
- অনুক্রমের অভিসৃতি ও শ্রেণির convergence test (ratio test, root test, comparison test) — খ ও গ দুই বিভাগেই এখান থেকে প্রশ্ন আসে।
- গণিতের প্রমাণ পড়ে মুখস্থ করলে পরীক্ষায় টেকে না — প্রতিটি প্রমাণ অন্তত একবার নিজে হাতে লিখে অনুশীলন করুন।
- আগের বছরগুলোর প্রশ্ন দেখুন — এই কোর্সে উপপাদ্যভিত্তিক প্রশ্ন অনেকটাই পুনরাবৃত্তি হয়।
আরও সাজেশন
Mathematics বিভাগের Honours 3rd Year-এর অন্যান্য সাজেশন:
- Honours 3rd Year Exam Routine 2026
- Abstract Algebra Suggestion 2026 (233701)
- Honours 3rd Year Syllabus ও Book List
সাধারণ জিজ্ঞাসা (FAQ)
Q: When is the Real Analysis exam in 2026?
প্রশ্ন: ২০২৬ সালে Real Analysis পরীক্ষা কবে?
A: The exam will be held on 29 November 2026 (Sunday) at 1:00 PM. Its course code is 233703.
উত্তর: পরীক্ষা হবে ২৯ নভেম্বর ২০২৬, রবিবার, দুপুর ১:০০টায়। এই কোর্সের কোড 233703।
Q: What are the main topics of the Real Analysis course?
প্রশ্ন: Real Analysis কোর্সের প্রধান টপিকগুলো কী কী?
A: Real number system, sequences and series, limits and continuity, differentiation, Riemann integration and uniform convergence.
উত্তর: বাস্তব সংখ্যা ব্যবস্থা, অনুক্রম ও শ্রেণি, সীমা ও অবিচ্ছিন্নতা, অন্তরকলন, Riemann সমাকলন ও অভিসৃতি।
Q: Which theorems are most important for the broad questions?
প্রশ্ন: রচনামূলক প্রশ্নের জন্য কোন উপপাদ্যগুলো সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ?
A: The mean value theorem, Rolle's theorem, Taylor's theorem, the Bolzano-Weierstrass theorem and the fundamental theorem of calculus are the most repeated broad questions in this course.
উত্তর: Mean Value Theorem, Rolle's Theorem, Taylor's Theorem, Bolzano-Weierstrass Theorem ও Fundamental Theorem of Calculus — এই কোর্সে এগুলোই সবচেয়ে বেশি পুনরাবৃত্তি হয়।
Q: How should I prepare for the brief questions of Real Analysis?
প্রশ্ন: Real Analysis-র ক-বিভাগের ছোট প্রশ্নের প্রস্তুতি কীভাবে নেব?
A: Learn every definition with at least one example — brief questions in this course are almost all definition-based and carry sure marks.
উত্তর: প্রতিটি সংজ্ঞা অন্তত একটি উদাহরণসহ শিখুন — এই কোর্সের ছোট প্রশ্ন প্রায় সবই সংজ্ঞাভিত্তিক এবং এগুলো থেকে নিশ্চিত নম্বর আসে।
